Matematicienii au descoperit un mod complet nou de a identifica numerele prime

Folosind un concept numit partiții întregi, o echipă de matematicieni a identificat o metodă cu totul nouă de a detecta numerele prime, conectând totodată două domenii matematice într-un mod neașteptat, scrie Live Science.

De secole, numerele prime au fascinat matematicienii, care continuă să caute modele ce pot dezvălui tipare în distribuția acestora. Numerele prime sunt numere întregi mai mari decât 1 care pot fi divizate doar de 1 și de ele însele. Primele trei numere prime sunt 2, 3 și 5. Este ușor de verificat dacă un număr mic este prim — trebuie doar să vedem dacă are mai mulți divizori. Însă pe măsură ce numerele devin din ce în ce mai mari, identificarea celor prime devine tot mai dificilă.

De exemplu, cel mai mare număr prim cunoscut, 2^136279841 − 1, are 41.024.320 de cifre. Deși pare imens, e doar o picătură în ocean comparativ cu infinitatea de numere prime posibile.

Mai mult decât să verifice numerele unul câte unul, matematicienii caută metode care să identifice structuri sau reguli în distribuția numerelor prime. „Ne interesează numerele prime pentru că sunt infinite, dar e foarte greu să găsim un tipar clar în ele”, spune Ken Ono, matematician la Universitatea din Virginia.

Recent, Ono, împreună cu William Craig (U.S. Naval Academy) și Jan-Willem van Ittersum (Universitatea din Köln), au descoperit o nouă metodă completă de identificare a numerelor prime. „Am formulat un număr infinit de noi criterii pentru a determina exact setul numerelor prime — complet diferite de regula simplă: «dacă nu poate fi factorizat, atunci e prim»”, spune Ono.

Descoperirea oferă un număr infinit de noi definiții ale numerelor prime

Articolul lor, publicat în Proceedings of the National Academy of Sciences USA, a fost finalist la un premiu pentru excelență științifică. Esențial este faptul că descoperirea oferă un număr infinit de noi definiții ale numerelor prime.

La baza metodei stă conceptul de partiții întregi — o idee veche ce datează din secolul XVIII, introdusă de matematicianul elvețian Leonhard Euler. „La prima vedere, partițiile par un joc pentru copii: în câte moduri putem aduna numere pentru a obține altul?”, explică Ono. De exemplu, numărul 5 are șase partiții:

• 4 + 1

• 3 + 2

• 3 + 1 + 1

• 2 + 2 + 1

• 2 + 1 + 1 + 1

• 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Totuși, această noțiune aparent simplă s-a dovedit o unealtă ascunsă extrem de puternică pentru a detecta numerele prime. „Este remarcabil că o funcție combinatorică atât de clasică — funcția de partiții — poate fi folosită în acest mod nou pentru a detecta numerele prime”, spune Kathrin Bringmann, matematiciană la Universitatea din Köln. Ea nu a fost implicată în cercetare, dar a colaborat anterior cu autorii.

Ideea acestei cercetări a pornit de la o întrebare adresată de un fost student al lui Ono, Robert Schneider, acum profesor la Michigan Technological University.

Ono, Craig și van Ittersum au demonstrat că numerele prime sunt soluții ale unui număr infinit de ecuații polinomiale speciale, bazate pe funcții de partiții. Aceste ecuații sunt un tip de ecuații diofantice, numite astfel după matematicianul Diophantus din Alexandria, și pot avea soluții întregi sau raționale.

Cu alte cuvinte, cercetătorii au arătat că funcțiile de partiții pot detecta numerele prime în moduri naturale, infinite.

Un exemplu de astfel de ecuație este (3n³ − 13n² + 18n − 8)M₁(n) + (12n² − 120n + 212)M₂(n) − 960M₃(n) = 0

unde M₁(n), M₂(n) and M₃(n) sunt funcții de partiții bine studiate.

„Mai general,” spun cercetătorii în articolul lor din PNAS, „pentru un anumit tip de funcție de partiție, demonstrăm că există un număr infinit de astfel de ecuații cu coeficienți constanți care detectează numere prime.”

Mai simplu spus, „este ca și cum lucrarea noastră oferă un număr infinit de noi definiții pentru ce înseamnă ca un număr să fie prim,” spune Ono. „E ceva care îți dă peste cap mintea.”

Impactul posibil al descoperirii

Kathrin Bringmann afirmă că acest rezultat ar putea duce la multe alte descoperiri. „Dincolo de interesul teoretic, această lucrare ar putea stimula cercetări viitoare privind proprietățile algebrice sau analitice ascunse în funcțiile combinatorice”, spune ea. Combinatorica — ramura matematicii care se ocupă cu numărarea și aranjarea elementelor — are adesea conexiuni surprinzătoare cu alte domenii.

Se ridică acum întrebări interesante: pot fi aceste idei extinse și la numere compuse sau la alte funcții aritmetice? Ce alte structuri matematice pot fi descoperite cu ajutorul funcțiilor de partiții?

George Andrews, matematician la Penn State și editor al articolului, a spus: „Este o descoperire complet nouă, ceva neașteptat. E greu de anticipat unde ne-ar putea duce.”

Desigur, multe mistere despre numerele prime rămân nerezolvate. De exemplu:

• conjectura numerelor prime gemene: există o infinitate de perechi de numere prime care diferă prin 2 (ex: 11 și 13).

• Conjectura lui Goldbach: orice număr par mai mare decât 2 este suma a două numere prime.

„Astfel de probleme i-au frământat pe matematicieni de secole,” spune Ono. Chiar dacă noua metodă nu oferă un răspuns direct la aceste întrebări, ea marchează un pas important în înțelegerea naturii misterioase a numerelor prime.