Un matematician rus a dezvoltat o nouă metodă de analiză a unei clase de ecuații care stau la baza modelelor din fizică și economie și sunt considerate „eterne”, deoarece i-au pus la încercare pe cercetători timp de aproape două secole.
Ivan Remizov, cercetător principal în campusul din Nizhni Novgorod, de la Școala Superioară de Economie ( Higher School of Economics - HSE), a prezentat această abordare într-un studiu publicat în Vladikavkaz Mathematical Journal, potrivit universității.
Pe site-ul Laboratorului de metode topologice în dinamică al HSE este publicat un comunicat în care se arată cum matematicianul a găsit o metodă de a exprima soluția ecuațiilor diferențiale de ordinul al doilea - considerate fără soluție analitică generală de peste 190 de ani - sub forma unei serii de aproximații explicite bazate doar pe coeficienții ecuației. Această formulă se obține ca limită a aproximațiilor după numărul de pași, folosind operații elementare și integrări, ceea ce oferă o reprezentare explicită a soluției prin coeficienți.
Ecuațiile diferențiale de ordinul al doilea sunt un instrument fundamental al matematicii, fiind utilizate pentru a modela modul în care sistemele se schimbă în timp. Ele descriu totul, de la mișcarea unui pendul oscilant până la semnalele din rețelele electrice și alte procese dinamice studiate în fizică și economie.
Timp de aproape două secole, matematicienii au știut că nu există o formulă generală închisă, asemănătoare formulei pentru ecuația de gradul al doilea, care să poată rezolva aceste ecuații atunci când coeficienții lor variază. În schimb, cercetătorii s-au bazat pe simulări numerice sau pe metode pentru cazuri speciale, acceptând că o expresie analitică generală este imposibil de obținut.
Lucrarea lui Remizov nu răstoarnă această limitare clasică. În schimb, ea oferă o nouă modalitate de a reprezenta soluțiile, folosind instrumente moderne din teoria operatorilor.
Ce înseamnă noua abordare, în termeni practici
Metoda sa se bazează pe teoria aproximării Chernoff, care descompune un proces complex, aflat într-o schimbare continuă, într-un număr mare de pași simpli. Fiecare pas produce o aproximație, iar pe măsură ce numărul pașilor crește, șirul converge către soluția exactă. Remizov și colegii săi au arătat, de asemenea, cât de rapid are loc această convergență.
Studiul demonstrează în continuare că aplicarea transformatei Laplace asupra acestor aproximații conduce exact la operatorul rezolvent, un concept central în teoria ecuațiilor diferențiale. Acest lucru oferă o procedură constructivă de obținere a soluțiilor, chiar dacă acestea nu pot fi scrise ca expresii finite folosind funcții elementare.
În termeni practici, abordarea le permite matematicienilor să introducă coeficienții a, b, c și g într-o ecuație standard de ordinul al doilea, ay′′ + by′ + cy = g, și să obțină funcția soluție y printr-un proces de limită bine definit.
Remizov, care și-a obținut doctoratul la Universitatea de Stat din Moscova în 2018, lucrează atât la Școala Superioară de Economie, cât și la Institutul pentru Probleme de Transmitere a Informației Matematice al Academiei Ruse de Științe.
Cercetarea sa se concentrează pe metode de aproximare pentru semigrupuri de operatori, un domeniu cu legături profunde cu fizica matematică.