Matematicienii au rezolvat o problemă veche de 125 de ani. „O provocare veche, o soluție nouă”

Când cel mai mare matematician al vremii propune o viziune pentru viitorul cercetării, lumea academică ia aminte. Așa s-a întâmplat în 1900, la Congresul Internațional al Matematicienilor de la Universitatea Sorbona din Paris, când legendarul David Hilbert a prezentat zece probleme nerezolvate, menite să ghideze cercetarea matematică în secolul XX. Ulterior, lista sa a fost extinsă la 23 de probleme, iar influența lor asupra matematicii din ultimii 125 de ani este imensă, scrie Live Science. 

Printre acestea, problema a șasea a fost una dintre cele mai ambițioase: Hilbert a cerut „axiomatizarea fizicii” — adică formularea minimului necesar de ipoteze matematice care să stea la baza întregii fizici. Deși, în sens larg, este greu de stabilit dacă această provocare poate fi considerată vreodată complet rezolvată, Hilbert a oferit și câteva obiective mai concrete.

În martie, matematicienii Yu Deng (Universitatea din Chicago), Zaher Hani și Xiao Ma (Universitatea din Michigan) au publicat pe platforma arXiv.org un articol care pretinde că a atins unul dintre aceste obiective. Dacă rezultatele lor vor fi confirmate, ele ar reprezenta un progres major către întemeierea matematică a fizicii și ar putea deschide calea spre alte avansuri similare.

Unificarea teoriilor despre curgerea fluidelor

În lucrarea lor, cercetătorii susțin că au reușit să unifice matematic trei teorii care descriu mișcarea fluidelor — teorii fundamentale pentru inginerie, meteorologie și alte domenii —, teorii care până acum se bazau pe presupuneri neverificate riguros.

Cele trei niveluri de analiză ale fluidelor sunt:

• Microscopic: unde particulele individuale sunt descrise de legile mișcării ale lui Newton.

• Mesoscopic: unde comportamentul statistic al unei „particule tipice” este modelat prin ecuația Boltzmann (formulată în 1872 de Ludwig Boltzmann).

• Macroscopic: unde fluidele sunt tratate ca medii continue, descrise de ecuațiile Euler și Navier-Stokes.

În mod ideal, fiecare nivel de descriere ar trebui să decurgă logic din nivelul inferior, într-o ierarhie riguroasă, așa cum dorea Hilbert: de la ecuațiile lui Newton, prin ecuația Boltzmann, până la ecuațiile Euler-Navier-Stokes.

O provocare veche, o soluție nouă

Deși au existat progrese treptate de-a lungul decadelor, toate derivările anterioare aveau limitări — de exemplu, funcționau doar pe perioade scurte de timp sau în condiții extrem de simplificate.

Noutatea adusă de Deng, Hani și Ma constă în faptul că au reușit să deriveze teoria macroscopică din cea mesoscopică, pe cea mesoscopică din cea microscopică și să conecteze cele două etape într-o derivare completă de la legile lui Newton până la ecuațiile Euler-Navier-Stokes.

Cea mai dificilă parte a fost trecerea de la nivelul microscopic la cel mesoscopic. Autorii au analizat ce se întâmplă când numărul de particule tinde spre infinit, iar dimensiunea lor tinde spre zero, demonstrând că comportamentul statistic rezultat converge către soluțiile ecuației Boltzmann.

Un obstacol major a fost extinderea acestor rezultate pe perioade lungi de timp, necesare pentru a reflecta comportamentul real al fluidelor. Cercetătorii au reușit să controleze modul în care istoria coliziunilor particulelor influențează comportamentul lor actual, utilizând tehnici matematice inovatoare.

Consecințe și perspective

Prin „lipirea” acestei descoperiri de lucrările anterioare privind derivarea ecuațiilor Euler-Navier-Stokes din ecuația Boltzmann, cercetătorii au reușit să unifice cele trei perspective asupra dinamicii fluidelor. Astfel, au oferit o justificare matematică solidă pentru abordările diferite folosite în funcție de context, demonstrând că toate converg spre o descriere coerentă a realității.

Dacă demonstrația lor va trece testul verificării riguroase, realizarea lor va reprezenta un progres semnificativ în programul lui Hilbert — și poate fi un semnal că, prin abordări proaspete, și alte probleme fundamentale ale fizicii vor putea fi în curând depășite.